摘要：以数学核心素养为导向，引导学生经历“实验—归纳—猜想—证明”的过程，探索直角三角形全等的特殊判定方法，感受一般和特殊之间的关系，构建知识内在关联.借助操作活动和分析证明思路，增强学生的几何直观和推理能力.

关键词：探究过程；知识关联；核心素养；几何直观；推理能力；全等判定

一、教学内容和内容解析

（一）教学内容

本节课的主要内容为：经历探索直角三角形全等的特殊判定方法的过程，归纳直角三角形全等的判定定理“H.L”，并进行简单应用.

（二）内容解析

“直角三角形全等的判定”位于沪教版《数学》教材八年级第一学期“几何证明”章节.本课时在学习了全等三角形的概念与性质、全等三角形的四种判定定理的基础上，聚焦特殊的直角三角形，进一步探究学习.

本章是论证几何学习的入门，从直观几何、实验几何推进到论证几何.在论证几何阶段，演绎推理是几何研究的主要方法.但学生初步学习演绎推理，需要控制证明的难度，重视证明前的分析和证明后的反思，引导学生学会数学思考的方式和养成严密思维的习惯，提升推理能力.

几何直观对逻辑思维有启导作用，实验操作对探索证明思路有重要意义，本节课对直角三角形全等的判定定理“H.L”命题的探讨，展现“实验—归纳—猜想—证明”的完整过程，并在证明前的分析中有实验操作活动，把演绎与非演绎适当结合.

（三）教学目标

1.探索直角三角形全等的特殊判定方法，经历“实验—归纳—猜想—证明”过程，感受一般和特殊之间的关系，体会演绎思想和化归思想，发展几何直观和推理能力.

2.掌握直角三角形全等的判定定理，会用“H.L”判定直角三角形全等.

3.经历探索定理的过程及合作交流，进一步激发探究的兴趣和积极性，增强解决问题的自信心.

教学重点：掌握两个直角三角形全等的判定方法及其应用.

（四）学情分析

学生通过实验几何的学习，获得了必要的几何基础知识，得到了几何语言表达的训练和形式化说理的体验，为进入论证几何的学习准备了条件.学生已掌握给定三角形的元素，通过尺规作图画三角形的能力，掌握全等三角形的四种判定方法，并能用于解决问题，这些为学习直角三角形全等的判定奠定了知识基础.

学生通过七年级三角形章节的阅读材料，初步了解“边，边，角”不能判定三角形全等，而“H.L”判定定理是特殊直角三角形背景下能判定全等的情况，辨析一般与特殊之间的关联，对学生而言有一定的难度.另外“H.L”判定定理的证明无法直接运用已学全等三角形的判定方法，而是需要通过两个三角形拼接后证明，这一证明方式学生较难想到，存在一定的困难.

教学难点：“H.L”判定定理证明思路.

（五）教学策略

1.核心素养为导向

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，强调进一步使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的获得与发展，发展运用数学知识方法与发现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观.

本课时通过“分离要素，聚焦研究对象——尺规作图，提出合理猜想——发现命题，完善语言表达——操作实践，尝试推理论证”发展学生的几何直观和推理能力，提升学生的数学核心素养.

2.内容结构化整合

对内容进行结构化整合，符合学生的认知规律，有助于学生理解与掌握，发展核心素养.

为了突破本课时的教学难点，即“H.L”判定定理证明思路的形成，需要挖掘新知与旧知之间的关联，明确知识的来源，结构与关联，构建探究的基本框架.因而类比已学全等三角形判定定理的学习过程，同样从一个三角形切入，再聚焦两个三角形的全等关系，如图1所示，使学生经历“实验—归纳—猜想—证明”的探究过程，感受一般和特殊之间的关系.

图1

3.组织启发式活动

学生是学习的主体，通过独立思考、动手实践、自主探索、合作教学等方式，引导学生主动学习.通过启发式的教学，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考.

本课时活动一，引导学生在实际情境中发现问题和提出问题，同时能引导学生主动调用已学知识思考，通过发现矛盾引发探究.活动二，通过尺规作图的动手操作，观察并提出猜想，引发进一步探究.活动三，在尝试证明命题的过程中，借助实物纸片以小组合作的形式进行探究，逐步发现和完善证明思路.在这些活动的过程中以学生为主体，教师作为学习的组织者、引导者和合作者，重视数学结果的形成过程，关注数学内容直观的表述，有意识形成学生的直接经验.

二、教学活动设计与意图

（一）抽象数学问题，开放思考角度

问题：老师家里有一块如图2所示的直角三角形玻璃不小心弄破了，想到店里重新配一块．需要知道这个三角形的哪些元素，才能配到一块一模一样的玻璃呢？

 图2                       图3

设计意图：借助实际问题情境，引导学生用数学的眼光观察世界，从实际情境中抽象数学问题，提升学生的数学核心素养.转化为数学问题“如图3，需要知道三角形的哪些边角元素，能确定这个三角形的形状大小？”这一较为开放的问题，帮助学生调用已有知识，已知三角形的“两角及其夹边”或“两角及其中一角的对边”或“两边及其夹角”或“三边”都可以确定三角形的形状大小.

思考1：能否选择确定∠A和∠B的大小，来确定△ABC？

思考2：能否选择确定AB和BC的大小，来确定△ABC？

设计意图：通过思考1引导学生复习，已知三角形的三个角无法确定三角形的大小，只能确定形状.思考2则帮助学生回忆，一般三角形中，确定三角形的两边及其中一边的对角，不一定能确定三角形的形状大小.为后续引入特殊直角三角形的情况作铺垫.

思考3：实际问题中，边AC破损，无法确定大小，同时不具备测角仪或其他合适的工具确定∠A或∠B的大小，那么还能否解决这一问题呢？

设计意图：回归实际问题，同过实际情况的操作限制，一方面让学生体会实际问题和抽象后的数学问题不完全一致，需要考虑真实情况带来的局限，同时激发学生的好奇，并进一步思考，开展后续探究，即给定一个三角形的两边及其中一边的对角，该角为直角，能否确定三角形的形状大小？

（二）从一般到特殊，构建知识关联

问题：给定一个三角形的两边及其中一边的对角，能否确定三角形的形状大小？如何说明？

图4                  图5

设计意图：引导学生尝试用已学知识，利用作图说明，再借助尺规作图动态演示（作图过程由图4到图5），说明这类情况下无法确定三角形的形状大小，如图5所示，可能会作出两个三角形的不同情况.

思考1：所作⨀B与射线AQ一定有两个交点吗？什么情况下能确定三角形？

设计意图：思考1引导学生发现⨀B与射线AQ也可能只有一个交点或没有交点.若只有一个交点，则能确定△ABC的形状大小.学生再次作图探究，在此基础上，通过动态变化呈现（由图5变化为图6），引导学生进一步观察，当点C₁与点C₂重合时，三角形确定，聚焦此时出现的直角三角形这一特殊情况.此外，如图7，当BC>BA时，呈现的钝角△ABC的形状大小也唯一确定.这一作图过程在复习旧知的同时，能帮助学生体会本节课的新知与已学知识的关联.

图6                  图7

思考2：配玻璃的实际问题中，已知的元素有什么特殊情况？

设计意图：通过思考2关注配玻璃的实际问题中，已知角为直角，联系图6，引发学生思考：给定一个三角形的两边及其中一边的对角为直角，能否确定三角形的形状大小？如表1所示，从一般到特殊开展探究，构建知识之间的关联.

表1

（三）借助尺规作图，提出合理猜想

作图：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=2cm，AB=3cm.

思考1：这个三角形的哪些元素已知？

思考2：可能画出几个满足条件的三角形？

设计意图：画草图，借助思考1和思考2，发现给定的是三角形的两边及其中一边的对角，学生会有所困惑，不确定画出三角形的情况.再通过尺规作图的动手操作，以及文字表述画图的具体过程，发现三角形形状大小的唯一确定.在此基础上通过同学之间画出三角形的对比（如图8），引导学生关注两个三角形之间的关系，引发猜想：满足条件的两个三角形可能全等.

图8

思考3：一般情况下S.S.A能判定两个三角形全等吗？这里有什么值得我们关注的条件？

设计意图：聚焦两个三角形的全等判定，调用已学知识，引发冲突.一般情况下S.S.A不能判定两个三角形全等，与现有猜想似乎有些矛盾，借此让学生更加关注目前的具体条件，明确直角这一特殊条件.对直角三角形背景加深关注，引导学生主动尝试用文字语言表述命题，为后续证明作铺垫，同时避免与一般情况下S.S.A混淆.

（四）小组合作讨论，充分探究思考

1.分析条件结论，明晰证明方向

猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.

证明：已知：如图9，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°,AB=A'B',BC=B'C'.

求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

              图9

思考1：已有的三组元素对应相等，能否直接运用已学的全等三角形判定定理？

思考2：需要证明哪些元素对应相等，才能解决这一问题？

设计意图：在明确文字命题之后，给学生时间，结合图形用符号语言描述已知和求证，并初步尝试寻找证明思路.但学生思考证明思路时出现困难，所以通过思考1思考2帮助学生理清思路，明确证明的方向：①证明一组角等∠A=∠A'或∠B=∠B'，或②证明另一组边等，即AC= A'C'.

思考3：有哪些方法可以证明角或边的等量关系？

设计意图：再通过思考3引导学生在积累的知识中挖掘可用来证明边等或角等的方法，从而进一步思考需要发现需要改变边或角的位置关系.比如想证明∠A=∠A'相等，观察图形中∠A和∠A'在两个三角形中，常用全等三角形证明，但这是最终需要证明，不适用.如果想利用等边对等角证明∠A=∠A'，则需要改变两个角的位置关系，将它们集中在一个三角形中，通过这样的分析，引导学生逐步明晰证明方向.

2.动手操作活动，探寻证明思路

小组讨论：利用手中的三角形纸片，尝试寻找证明思路.

设计意图：通过三角形纸片，可以帮助学生开拓证明思路，将分散在两个三角形中的条件在一起，同时将需要证明的量进行位置关系上的调整，以便于运用已学知识证明其相等关系.

学生思路:通过将两个三角形的一边叠合，组成新的三角形或四边形，尝试寻找证明思路.（学生利用磁吸纸片，在黑板上展示三角形纸片的拼接方式，如图10—15）

图10                     图11                   图12

图13                     图14                  图15

思考1：为什么想到将两个三角形拼接为图10、图11的形式？这两种拼接方法是否都可行？

思考2：还有哪几种拼接方法不可行？为什么？

设计意图：绝大部分学生开始考虑的方式都是图10和图11，希望将两个直角三角形通过拼接转化为一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质，但却忽略了拼接操作的可行性.通过思考1引导学生有意识关注线段拼接时需要注意长度相等，从而主动发现缺少条件AC= A'C'的情况下，图10不可行，也为后续证明时，需要优先说明拼接方式成立做铺垫.同样的思考2引导学生继续辨析，排除图13的拼接方式.

思考3：利用图11和图12的拼接方式，可以证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，这样的拼接方式起到什么作用？

设计意图：在图11和图12的拼接情况下，学生利用已学知识，能快速找证明思路，而思考3则是在证明完成之后，引导学生反思，拼接操作给证明起到的作用.经历证明过程，感受通过拼接能将条件集中在一起，重新整合，如图11中可以利用等边对等角证得∠A=∠A'，同样图12中可以利用角平分线定理的逆定理证得∠CAB=∠C'A'B'，从而证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.反之，以现有知识，图14和图15的拼接方法无法支撑证明.

3.观察不同方法，形成有序思考

思考1：同学们提出的多种拼接方法，哪些方法有共同点？

设计意图：学生在寻找思路的过程中，尝试拼接三角形纸片的方式是较为随机的，通过观察大家想到的不同拼接方法，学生会发现图11、图14和图15都是利用条件BC=B'C'进行拼接，图12则是利用条件AB=A'B'进行拼接，进而引导学生思考时有序分类.

思考2：利用条件AB=A'B'，还有其他的拼接方法吗？

设计意图：引导学生发现利用条件AB=A'B'，还可以有不同的拼接方法（如图16、图17），一部分学生较难想到图17的拼接方式，引导从运动变化视角观察，用纸片直观操作，可将图16中的△A'B'C'沿A'B'翻折，得图17.从动态变化视角展示，更便于学生理解，开拓思维.

图16                   图17

（五）回顾探究过程，共同归纳梳理

直角三角形全等的判定定理

文字语言：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.（简记为“H.L”）

图形语言：

设计意图：学生经历完整的探究过程，并用文字语言、图形语言和符号语言表达直角三角形的判定定理，着重强调定理须在直角三角形背景下运用.

（六）剖析图形条件，逆结论寻思路

例1已知：如图19，BC⊥AD,BC'⊥AE,垂足分别为点C、C',AC=AC'.

求证：点B在∠DAE的平分线上.

图19            图20

设计意图：直接巩固应用，熟悉新定理，通过联结AB（如图20），发现△ABC和△A'B'C'都是直角三角形，且满足公共斜边和一组直角边对应相等，利用H.L证明这两个三角形全等，得∠CAB=∠C'AB，证得点B在∠DAE的平分线上，此外注重学生正确的书写表达.

例2已知：如图21，BC >AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°.

图21                     图22                       图23

思考1：寻找这一问题的思路，可以从哪里切入？

思考2：须证明∠A+∠C=180°，有哪些方法可以证明两个角互补？

设计意图：在初步理清条件和结论后，通过思考1引导思考解决问题的切入点，可以看到通过条件联想较为困难，从而关注结论∠A+∠C=180°.借助思考2学生能快速联想到邻补角、三角形内角和、平行线间的同旁内角互补等相关知识，从而考虑利用邻补角，转化为证明角相等的问题（如图22）.

思考3：观察图形中角之间的位置关系，如何证明？

设计意图：通过思考3引导学生观察，根据角分散的位置关系，尝试利用全等证明角等，结合角平分线条件，如图23，通过过点D作BA和BF的垂线，交线段BA的延长线于点E，交线段BC于点F，通过角平分线性质定理得ED=FD，从而利用H.L证明构造的Rt△ABC与Rt△A'B'C'全等，所得对应角∠EAD=∠C，即可证得∠A+∠C=180°.

（七）关联已学内容，形成知识体系

思考1：今天学习的H.L适用于证明哪一类三角形全等？

思考2：证明两个直角三角形的全等方法只有H.L吗？

图24

设计意图：通过思考1和思考2，帮助学生梳理今天所学知识和旧知的关联，H.L只适用于证明两个直角三角形全等，但已学习的其他全等证明方法也同样适用于特殊的直角三角形，并且都需要通过三组元素对应相等来证明全等，形成图24，便于学生构建知识关联.

四、课堂教学设计与反思

（一）利用图形操作活动，渗透几何直观能力

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯.有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.尺规作图、折纸、剪拼等操作活动，可以帮助学生经历几何对象的图形构造过程，理解图形的组成元素、关系与结构，培养几何直观.

是建立几何直观的基础.

1、尺规作图直观感知，发现图形结构特征

本节课利用尺规作图，一方面帮助学生加深“边、边、角”不能确定三角形的形状大小的认知，同时通过动态变化，利用可视化技术帮助学生直观感受图形的变化，从而引发学生直观猜想.另一方面，利用尺规作图，在直角三角形确定“斜边、直角边”的情况下，画出确定的三角形，与“边、边、角”不能确定三角形形成矛盾冲突，进一步引发猜想，聚焦直角三角形全等的特殊方法.学生经历两次尺规作图的操作过程，对图形进行直观感受，增强对于直角三角形全等“H.L”判定定理特殊性的理解，明确直角三角形这一前提条件，并与已学知识构建关联.

2、纸片拼接操作活动，关注图形运动变换

在“H.L”判定定理的证明过程中，实物三角形纸片操作讨论活动，能调动所有学生积极参与，培养学生对论证几何的学习兴趣.同时能帮助学生更直观、形象地感受通过图形地运动变换，将两个三角形的边角元素位置变化，重新组合元素条件，运用定理解决问题.活动后期引导学生关注操作活动中图形的变化，从翻折、旋转运动角度切入，从几何变换的视角观察与分析几何图形，通过操作活动对三角形进行变换、分解与组合，解释操作过程的几何原理及操作前后图形的关系，培养学生的几何直观.

（二）探讨分析证明思路，培养逻辑推理能力

推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神.

几何论证有很强的思辨性和逻辑性，本课时着重关注对证明思路的形成过程的分析，以及证明之后的反思梳理，培养学生的推理能力.

1、重视思路形成来源，凸显思考分析过程

重视证明前的分析，本课时多用“执果索因”的分析方法，即从“未知”看“需知”靠拢“已知”,通过细致剖析其中的因果关系，呈现思路的来源及思考过程，引导学生学会思考方法，以便延伸到其他问题的解决中.

在“H.L”定理的探究过程中，给与学生充分的时间，探索思考证明命题思路,不急于给予提示，让学生说说遇到的困难，通过提问点拨，从结论入手，分析图形，从而主动提出“拼一拼”，在这一过程中更多通过生生互动，学生能更沉浸分析思考过程，体会思路的来源.

另外重视规范证明的表达，如利用图11的拼接方式证明时，在已说明BC和B'C'重合后，引导学生关注还需通过∠ACB=∠AC'B'=90°说明点A'、C、A'必在一条直线上，得△ABB'，后续用等腰三角形的性质才有依据.

在例2证明思路的探索过程中，同样引导学生通过结果切入，执果索因，学生通过180°联想邻补角之后，会出现两种不同的添线路径，延长BA（如图23）可以通过构造出的全等三角形解决问题，而延长BC则无法用类似方法解决.此时引导学生思考原因，不难发现，能否有效结合角平分线这一条件，是非常重要的，感受添加辅助线时也需观察图形中已知的条件结构构成，尝试将其整合集中.此外也让学生体会，思路大方向正确的情况下，也不是所有路径都可以成功，探索思路时遇到困难是很正常的，重新聚焦条件和图形关系进行调整.

2、提升证明反思意识，梳理不同思路选择

在完成“H.L”定理的证明后，引导学生回顾整个探究过程，尝试归纳梳理不同的拼接方式，鼓励学生多表达，形成有序思考路径.能发现拼接操作需要关注①可以利用相等线段进行叠合，注意操作的可行性②等长的两条线段叠合，两个图形也有多种拼接方式，可以从运动变换的视角，逐一考虑（如图25所示）③思考图形变换后能否通过位置变换，运用已学知识解决问题.

例2也有同学提出了不同的解题方法，如图26，添加辅助线：在线段BC上找一点M，使得BM=AB，联结DM，从而证明△ABD≌△MBD.结合已知AD=DC，可证DM=DC，发现等腰△DMC，可证∠C=∠DMC.再利用全等三角形的性质得∠A=∠DMB，最后利用∠DMC+∠DMB=180°，证得∠A+∠C=180°.在完成解答的基础上，引导学生思考两种证明方法的关联，可发现虽然添线方式不同，但都是从∠A+∠C=180°这一结论突破难点，结合图形，利用邻补角互补的数量关系，将证明目标转化为证明角等.通过证明后对不同方法的归纳梳理，提升反思意识，培养推理能力.

图26

参考文献

［1］中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］鲍建生,章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之五：推理能力[J].中国数学教育,2022,(19):3-11.

［3］鲍建生,章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之三:几何直观[J].中国数学教育,2022,(Z3):3-9.

附件列表：
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