摘要：综合与实践活动中常出现“重操作、轻建模”的现象。以沪教版七年级下册“积木可以叠多远”的教学为例，教师应将重点从“做出结果”转向“解释结果”：先借两块积木引出重心与数轴表示，再在三块到四块的过渡中设置“每次减半”的直觉猜想，使学生通过实验发现矛盾，回到“整体重心—临界平衡”模型，最后在 n 块推广和条件变式中形成一般表达。课堂实践表明，认知冲突能激发学生重新数学化的需要，促进应用意识从经验操作走向模型迁移。

关键词：应用意识；认知冲突；综合与实践；重心；积木叠放

一、问题的提出，从“动手做”到“用数学解释”

《义务教育数学课程标准（2022年版）》^[1]将应用意识界定为“有意识地用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题”。综合与实践活动具有真实情境、跨知识联系和开放探究等特点，是培养应用意识的重要场域。但在课堂实施中，活动也容易被简化为“量一量、摆一摆、记一记”，学生完成了操作，却没有真正经历问题数学化、模型建立和结果解释的过程。

“积木可以叠多远”是沪教版七年级下册的综合与实践内容^[2]。问题看似来自游戏：若干块相同的均匀积木逐块向外叠放，在不倒塌的前提下，最上方积木最多能伸出多远？但它背后包含清晰的数学结构：临界位置、重心、数轴表示、平均数模型以及调和数列的部分和。正因为学生有直观经验，又容易产生错误猜想，该活动适合借助认知冲突推动应用意识的发展。

本文所说的“认知冲突”，不是为了让学生“犯错”而设置障碍，而是利用学生已有经验与新事实之间的矛盾，引导其主动修正解释框架。就本活动而言，教学关键不在于教师直接给出最大延伸量的公式，而在于让学生不断回答三个问题：为什么两块时恰好是一半？为什么三块时不能只看最上面一块？为什么四块时“每次减半”的猜想会失效？在连续追问中，学生才能逐步体会数学工具对现实问题的解释和应用。

表1 “积木可以叠多远”的活动主线

二、在两块积木处设置“数学介入点”，激活学生已有经验

应用意识首先表现为学生能够在现实情境中主动调用数学工具。对七年级学生而言，这种意识不能只靠教师讲解“数学有用”来形成，而要在具体问题中让学生感到：没有数学表达，就无法说清楚现象背后的原因。因此，教师需要在学生已有经验与数学解释之间设置恰当的“介入点”。所谓“数学介入点”，即学生已有操作经验与数学表达之间的缺口处。之所以选在两块积木处，是因为此时学生已有“一半”的模糊经验，但尚未用重心描述——这正是数学语言介入的最佳时机。

在两块积木的实验中，学生通常能通过反复尝试发现：上方积木最多大约伸出半块积木长。此时如果教师直接给出“最大值为”（设积木长度为），学生容易把它当成实验结论记住，而不是理解为一个可以推广的模型。教师可追问：“为什么刚好是一半？这个位置还能用什么数学语言描述？”学生会说“中心”、“中点”或“中间”。教师再顺势补充重心概念，明确均匀积木的重心在几何中心。当上方积木的重心恰好落在下方积木的边缘时，处于将倒未倒的临界状态。这样，实验中的“半块”就被数学化为.

这个环节的价值在于，学生意识到：一个看似手感决定的操作结果，可以借助“重心—边缘—临界”加以解释。也就是说，数学介入点应当落在学生已经看见现象、却尚不能解释现象的地方。此时教师的追问比讲授更重要，因为追问能把学生的注意力从“我摆出来了”引向“我为什么能这样摆”。

三、在错误猜想处制造认知冲突，推动模型迭代

综合与实践活动中的应用意识不能停留在“会套一个模型”。当情境稍有变化时，学生是否能够检验原有模型、发现其适用边界，并作出必要修正，才是应用意识发展的关键。认知冲突正可以成为这种模型迭代的动力。

（一）生成合理错误

在完成两块积木后，学生容易形成“最上面一块可以伸出 ”的经验。进入三块积木时，教师引导学生把上面两块看成一个整体：若上面两块要在第三块上达到临界，则这两块的整体重心应落在第三块的边缘。仿照前续单块积木重心的讨论，学生已知规则图形的重心在几何中心，把前两块积木看作一个平面图形，整体是中心对称图形，学生能够直接找到重心，得到第二次新增延伸量为 。至此，学生经历了从单块重心到组合重心的第一次模型升级。

真正的冲突出现在四块积木。教师不急于讲解，而是让学生先根据已有结果猜测第三次新增延伸量。由于前两次分别得到、，不少学生会自然猜想“下一次应为 ”，也有学生认为“可能仍然是 ”。这些猜想并非随意错误，而是学生基于有限经验作出的合理推测。只有先让这种直觉猜测充分显现，后续实验才可能形成有效冲突。

（二）转化为重新建模的需要

通过实验验证，学生会发现“下一次新增延伸量是 ”是错的。以积木长度 l =11.6 cm 为例，若按  来算，第三次最大延伸量为 1.45 cm；而学生动过实验操作，按照同样的摆放方式，发现新增的延伸长度约为1.9cm，已远远超过1.45cm。课堂中还常出现另一类现象：有的小组把“累计延伸量”与“新增延伸量”混淆，记录值明显大于 1.45 cm。教师可借此提醒学生，先要明确比较的是哪一个量，再讨论它由什么因素决定。

这一环节教师不宜直接宣布正确答案，而应把问题交还给学生：“这一次与前两次相比，平衡的对象发生了什么变化？”课堂中出现了如下对话：

生1：两块时是 ，三块时是 ，我觉得四块时应该是 。

生2：实验结果好像没有那么小， 解释不了。

师：如果  不合适，说明我们前面的哪一个想法需要调整？这一次研究的对象是哪块积木？

生3：根据前续的组合积木重心的经验，不能只看上一块，而是要把上面几块看成一个整体。每加一块积木，组合积木整体重心的位置都会变。

生4（犹豫）：那是不是要把上面三块一起算？而不是只算上面两块？

在这一讨论中，学生开始从“找数字规律”转向“分析研究对象”。教师可以进一步引导：从上往下看，第 k 次支承时，上面 k 块积木的整体重心应恰好落在下面支撑积木的边缘。由于各块积木的质量和形状完全相同，整体重心的位置可用各块积木重心位置的平均数表示。

由于要求的是积木在水平方向上的延伸长度，因此可以忽略积木的高度和宽度，利用数轴等数学工具，将积木这一立体图形投影到一维数轴上，建立平均数模型，通过方程计算得到四块积木中的第三次新增延伸量是  ，不是 .

这一过程体现了认知冲突的教学价值：冲突不是终点，重新解释才是关键。学生原先的“等比”猜想被实验否定后，并不是简单换一个答案，而是重新明确了研究对象——从“某一块积木能推多远”化归为“上方若干块作为整体，其重心能否落在支撑积木的边缘内”。这种对象转换，正是应用意识由经验层面走向模型层面的标志。

四、在一般化过程中预留开放空间，促进迁移应用

如果活动只停留在求出两块、三块、四块的结果，学生获得的仍可能是局部技巧。综合与实践活动更重要的价值，是让学生把已形成的模型迁移到更一般的情境中。

在学生经历前面的冲突与修正后，教师可以组织学生归纳：设积木长度为 l，从上往下第 k 次支撑的新增延伸量为 。若共有 n 块积木且最下层也允许相对于桌面边缘向外延伸，则最大总延伸长度可表示为：

在此基础上，教师可设计分层开放任务。基础层面要求学生用图示、数轴或表格解释 的数学原理；提高层面要求学生计算 5 块、10 块积木的最大延伸量，并判断延伸量的增长是否越来越慢；拓展层面则鼓励学生思考：如果积木数量无限增加，总延伸量是否可能无限增大？如果某一块积木的质量变为其他积木的两倍，最优摆放方式是否会改变？

开放任务的意义不在于所有学生都必须完整解决调和级数或非均匀积木的问题，而在于让学生把“重心模型”主动用于新条件。有学生在研究小报中写道：“计算前11项和才刚超过1.5l，随着积木数量无限多，竟然可以无限远，太神奇了，我查资料才知道这叫调和级数。”另一位学生虽未能完成完整推导，但提出“重积木放在最下层时整体重心更靠里，上面的可以推得更远”的猜想。教师评价时应关注学生是否提出了可研究的问题、是否选择了合适的数学表示、是否能用数据或图示支持自己的判断，而不宜只看最终答案是否标准。

表2 开放任务中的过程性评价要点

五、教学实施中的几点注意

第一，认知冲突应建立在学生已有经验之上。四块积木环节之所以能产生较强的冲突，是因为学生已经先后获得两个结果，并据此形成“继续减半”的直觉。如果学生尚未理解组合重心，教师就直接抛出四块问题，冲突容易变成单纯的困难，反而削弱探究效果。

第二，实验数据要服务于数学解释。积木材料、摩擦、摆放精度等因素都会影响测量结果，课堂上不必把每一次实测都处理成完全精确的数值。更重要的是引导学生比较“猜想值—实验值—理论值”之间的关系，发现旧模型不能解释新现象，从而产生修正模型的需要。

第三，教师要控制讲授时机。重心、平均数、调和数列等内容都有一定抽象性，若一开始全部讲透，活动会变成公式验证；若完全放任学生操作，又可能停留在经验层面。较为合适的做法是：在学生能够操作但不能解释时介入概念，在学生已有猜想但被事实否定时介入模型，在学生形成一般规律后再安排变式与开放探究。

第四，评价应以表现性评价为主，覆盖“提出问题—建立模型—检验证据—表达反思”的全过程。对于综合与实践活动而言，学生是否能说明自己的猜想为什么被修正，往往比是否直接写出最终公式更能体现应用意识。因此，实验记录单、课堂讨论、小报展示和反思说明都可以成为评价依据。

六、结语

“积木可以叠多远”并不是一道单纯求最大值的问题，而是一条从经验操作走向数学建模的学习路径。两块积木让学生看到数学可以解释现象，三块积木促使学生把积木组合看成整体，四块积木通过认知冲突推动模型迭代，n 块的推广和条件变式则打开了迁移应用的空间。当学生在“原有解释不够用”的时刻主动调用数学、修正模型并表达理由时，应用意识便不再是被要求的事情，而会转化为解决问题的内在需要。

由此可见，在综合与实践活动中发展应用意识，关键不是增加活动的热闹程度，而是设计有思维含量的冲突节点，使学生在经验与事实的矛盾中重新数学化，在模型的修正与迁移中理解数学的应用价值。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 上海市中小学课程教材改革委员会. 数学（七年级下册）[M]. 上海：上海教育出版社，2020.

[3] 鲍建生，周超. 数学核心素养在初中阶段的表现与教学建议[J]. 数学教育学报，2022，31(4)：1-6.

[4] 夏雪梅. 项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践[M]. 北京：教育科学出版社，2018.

[5] 李俊. 初中数学“综合与实践”活动设计的三个关键点[J]. 上海中学数学，2023(5)：23-26.

附件列表：
基于认知冲突发展学生的数学应用意识——世外中学丁子怡、傅炤(1).docx (71.023 KB)