以分数墙为载体，贯通“量”、“率”，整体认识分数

——《几分之几》教学实录及反思

张琳捷

（上海市徐汇区东二小学）

摘要

分数单元教学用“分数墙”一以贯之，认识几分之一、几分之几、分数的大小比较、等值分数、假分数等都可在分数墙这一核心载体上进行，使学生的思维更加结构化、系统化。在认识分数的初始就不割裂“量”、“率”，不但是“量”、“率”并进，而且要贯通二者，学生在多次的观察和语言表达中可以体会到二者是融会贯通的。

关键词

分数   几分之几   量和率   贯通   分数墙

分数有两重意义。如把一根1米长的绳子平均分成3段，每段占整体的                                               ，每段长米，既表示率，也表示量，学生理解起来有一定的困难。因此，不少教材在编排上都是分开编排的。即：先在中年级从“率”的角度引入分数，再在高年级从“量”的角度对分数的意义进行拓展。这种碎片化的编排割裂了学生的分数意义的整体理解。因此，将分数的“量”和“率”两种意义双线并进，进行整体教学设计，有利于学生形成关于分数意义的结构性认识。

教学过程

一．导入

出示分数墙：你能在分数墙上找到哪些几分之一？

生：、、、 。

二．活动一  探究分数墙

1、其实，分数墙上还藏着很多其它分数。我们一起来找一找。

活动要求：

(1)在分数墙上，除了几分之一，你还能找到其它分数吗？在学习单上用阴影部分表示。

(2)和同桌分享你找到的分数，说说它表示的含义。

2、同桌交流。

3、集体汇报，并带着大家数一数。

   生：2个  是  ； 3个  是  ； 2个  是  。

4、小结：同学们找到了这么多分数，它们的分子不再是1，这样的分数就是几分之几。

谁能用一句话概括什么是几分之几？

生：几个几分之一就是几分之几。

三．活动二  1米的墙

1、现在如果把分数墙的长度定为1米，把它平均分成2份，1份就是整体的 ，它的长度是几米呢？米

2、为什么左右同样大小的两部分，既可以表示成 ，又可以表示成 米，说明了什么？

小结：1米的  就是 米，米就是1米的  。

【设计意图】这里是本课的教学重点，不强调  和 米的区别，而是把二者贯通起来，带着学生一起说“1米的  就是 米，米就是1米的 ”。

1. 把一行平均分成3份，其中的一份占整体的  ，那右边的空白部分有多长呢？

生： 米。

为什么是  米？

1米的  是 米，有2个 米就是 米。

【设计意图】此处同样引导学生来数一数，几个几分之一米就是几分之几米，增强学生数分数单位的意识。

4、想一想刚才你画的阴影部分长几米呢？同桌说一说。

5、集体汇报

生：3个  米是  米；5个  米是  米。

6、小结：把整体1变成了1米，1米的  就是 米，米就是1米的 。

四．活动三  12米的墙

1、如果把分数墙的长度变成12米呢？

它的  的长度是多少呢？ 生：6米。

小结：我们可以这样说，12米的  就是6米，6米就是12米的 。

【设计意图】这里再次贯通“量”、“率”。左右相同的部分，一个表示为 ，一个表示为6米，得到“12米的  就是6米，6米就是12米的 ”。原设计追问“为什么同样是 ，右边的长度一会儿是  米，一会儿是6米？”因整体的改变引起其  表示的量也发生变化。但这不是本课的教学目标和重点，就不喧宾夺主，让学生的思维聚焦在“量”、“率”的贯通上。

2、分数墙里还有许多地方，想一想应该填什么数？填完后同桌交流一下。

3、集体核对

4、小结：同学们灵活地解决了这些问题，12米的  就是4米，4米也就是12米的  。

【设计意图】这里的填空既有“量”、又有“率”，锻炼学生的审题能力——填数时要观察是否有单位。学生在思考和交流的过程中，进一步认识几分之几的含义，贯通“量”、“率”的理解，并且培养了数学语言的表达能力。

五．活动四  一板酸奶（离散整体）

1、前面我们分别把1米、12米看作整体1放在分数墙里研究，整体1还可以是我们身边的物品，比如一板酸奶，我们可以怎样研究其中和分数有关的问题呢？

生：把它们摆成一排，放到分数墙上。  （动画演示）

2、分数墙里最后一行的这部分，它可以表示什么？

1板酸奶的  是  板，6杯酸奶的  是1杯， 板就是1杯。

【设计意图】离散的整体，也形象化地看作单位“1”放在分数墙上研究。最后一行的填写继续关注“量”、“率”的贯通，难度稍有提高的是，同样大小的一格，可以用单位“板”、也可以用单位“杯”，引起认知冲突，激发学生逻辑推理这一核心素养的形成。

3、这部分又可以表示什么呢？

小结：这里既可以是  ，又可以是  板，还可以是1杯。

4、那么连在一起的这两块呢？可以表示多少？

1板酸奶的  是  板，6杯的  是2杯， 板就是2杯。

5、这里有三把锁，你能解开它们吗？

1板的  是  板，6杯的  是4杯， 板酸奶就是4杯酸奶。

五．总结：回顾这节课的收获。

教学反思

1、以“分数墙”作为单元整体教学的承重墙

本课开门见山就呈现出分数墙，先从中找到已学过的几分之一，复习几分之一的含义，这些几分之一其实就是分数单位，在左侧涂色突显。然后放手让学生去找新的分数，引导学生通过数分数单位来认识几分之几。

分数墙不但是初步认识几分之几的媒介，还在后面的学习活动中发挥作用：分数墙的长度分别是1米和12米时，“量”和“率”的认识都放在分数墙上进行融会贯通、离散整体中的相关分数问题也在分数墙上呈现。

对于单位“1”的理解是分数学习的一个重难点，形象的动画演示把离散整体摆成一排放到分数墙上，直观地让学生认识到单位“1”不但可以是一个物体，也可以是多个物体，学生对分数意义的认识更加深刻了。

本单元用“分数墙”一以贯之，让学生的思维更加结构化，不用另起炉灶找新的情境，分数墙这一核心载体甚至可用于跨年级的单元教学：三年级建立起来后，四五年级继续在分数墙上解决同分母分数的大小比较、加减法，认识等值分数、假分数等等。这样结构化的处理让分数墙不只是一个装饰，而是学习分数单元的承重墙、奠基石，学生分析问题时，脑海里就会浮现出分数墙的背景图，解决问题的过程有迹可循。

2、在学习分数伊始，就贯通“量”、“率”的认识

长期以来，我们在教学中过分强调了分数的“无量纲性”，而忽视了“有量纲性”的特点，学生对分数意义的认识也因此走入了偏重“率”、无视“量”的误区。实际上，无论是整数，还是分数、小数，都可以带上单位来表示数量，也可以不带单位表示两个数量的关系。也就是说，一切实数在应用时都是有量纲、无量纲两种情况并存。虽然“量”并不是培养数感的唯一途径，但在分数意义的教学中，若采取与整数、小数割裂的方法，一味突出“率”而放弃“量”，那么势必使学生对分数意义的理解残缺，运用起来也会错误百出。^[1]

国内很多版本的教材都是“率”为先，“量”的引入姗姗来迟。如人教版教材，在“分数的初步认识”和“分数的意义”，强调的一直是“率”；直到“分数与除法”中才出现“把一个蛋糕平均分给3人，每人分得多少个”这类涉及“量”的例题。^[2]

沪教版的教材，在认识分数的初始就是“量”、“率”并进的，让学生充分理解分数也可以作为一个数带上单位表示具体的量，在学生新接受、理解分数时，就并未割裂两者。笔者在本单元的第一课《几分之一》就实行“量”、“率”并进；学习《几分之几》时，进一步贯通“量”、“率”。

学习《几分之一》时就提问过学生，分数墙第二行左右同样大小的两部分，“为什么既可以表示成  ，又可以表示成  米？”领悟力强的同学能自己表达、或在老师的引导下说出： 是表示部分与整体的关系、没有单位， 米是表示具体的长度、有单位。甚至有聪明的同学指出，（用“米”表示长度）正是因为除不尽，所以要用分数表示，道出了分数产生的原因。

然而这两者的区别与联系对很多同学来说还是比较抽象、难以真正理解的。本课继续抛出这个问题，提问方式稍有改变：“同样大小的两部分，既可以表示成 ，又可以表示成 米，说明了什么？”“说明”二字意在不去纠结二者的区别，而是将它们联结起来。同学们直观看到左右部分大小一样，可体会出这两种表示是相通的，小结：1米的  就是 米，米就是1米的 。强调“就是”两字、两句话正反说，用理所当然的语气把分数的“量”和“率”贯通起来。

之后的学习活动反复贯通“量”、“率”：1米的  是 米；12米的  就是6米，6米就是12米的 ；1板酸奶的  是  板，6杯酸奶的  是1杯， 板就是1杯等等，在大量、具体感知的基础上，学生及时思考、抽象感知，认识分数的伊始就打通“量”、“率”这“任督二脉”。本来需要一个课时“率”、一个课时“量”，第三课时合并讲二者的区别与联系，现在处理成二者并进、融会贯通，事半功倍。

笔者选取了两个平行班级进行教学实验，对照班采用“量”、“率”分行的教学方法，实验班采取“量”、“率”贯通的设计，题目是“12米的墙”中的4道填空：

这4题对照班的正确率是46.7%，实验班的正确率是73.5%，贯通“量”、“率”的教学效果较为显著，实验班学生对分数的理解更深刻全面些。

3、待研究的问题：“分数单位”的名称是否要明确提出

笔者在几次试教过程中都有这样的现象:即使多次引导学生数分数单位来认识几分之几，很多同学还是倾向于从整体与部分的关系说几分之几的含义。由于教材中未出现“分数单位”这一名称，所以课上老师也没有讲出来，只通过左侧突显的颜色让学生自行感受。或许大胆尝试、不拘泥于教材，明确说出“分数单位”这一名称，几分之一就是分数单位，从而在分数墙上可以数出很多分数，这样可能会有助于学生理解分数的度量意义。

本课的教学设计在徐汇区数学教研活动中的一次教研实践，笔者在尝试中感受到突破分数的“量”和“率”这一教学难点上很有帮助。今后笔者将带着待解决的疑虑继续探索，多读相关文献、多学习同行经验、多进行教学实践，进一步研究分数相关的教学。

参考文献：

[1]宋煜阳，邬盼盼.从“ 个”到“ ”的教学尝试——“分数的初步认识”单元整体教学思考与实践[J].小学数学教师，2020.4.

[2]胡小妹.正本清源，量率重构——《分数的意义》再设计[J].湖北教育.2017.10.