初中数学平面几何有关中点问题添辅助线的教学策略
初中数学平面几何有关中点问题添辅助线的教学策略
上海市民办华育中学 王江
【摘 要】本文对于初中平面几何问题中，有关线段中点问题填辅助线的策略进行探讨。当题目中的中点的条件与其他条件相结合时，会出现一些常见的填辅助线的策略，这些策略的归纳与总结，有助于老师们系统思考与讲解，也有助于学生对有关中点问题的解决，形成有效的活动经验，从而帮助学生建立联系，帮助解决类似问题。
【关键词】中线倍长 构造平行四边形 构造斜边上的中线 构造中位线
波利亚在《怎样解题》中涉及“辅助元素”（Auxiliary elements,指的是为了帮助求解而引入的元素）时，曾提到过“辅助线”这一概念，波利亚认为几何中的辅助线就是一种辅助元素，而利用已有结论和回归定义往往是引入辅助线的最好理由，波利亚还特别地道辅助线往往是解题过程中最炫目的一笔，同时聪明的读者也往往会追求辅助线引入的自然而然，这意味着高水平学生在解题过程中往往不满足于讲题目“完成”，同时还具有解题的“审美需求”，希望讲自己的解题过程进一步优化，具有数学上的美感。罗山（2020）将辅助线定义为“在进行几何正面过程中，现有图形条件不足以进行有效证明时，为了辅助解题所增添的一些线段或直线”。
为什么要构造辅助线？波利亚认为对辅助元素的引入不是随机的，是有迹可循的，他将引入辅助线的作用总结为三个：利用已知结论、回到定义、为了题目更为熟悉和完整。
各种几何证明中，辅助线的添法虽然多种多样，但其中的思维方式是：由条件出发的综合法模式，由结论出发的分析法模式，以及条件与结论同时出发的结合模式.笔者在教学实践中发现，由条件和结论同时出发的综合法模式比较受到学生的欢迎，也比较容易令学生上手，将常见的条件与常见的做法总结成“基本图形”与“常用结论”，把几何证明中的添辅助线的方法，总结成“中线倍长”、“角平分线翻折”、“截长补短”等常见口诀，可以让学生建立由条件和结论出发的分析法模式，并快速建立这种条件与结论之间的联系.
本文旨在对上海初中有关三角形与四边形的几何证明中的“中点”这一条件，进行分类分析，帮助师生建立相关的“基本图形”与“常用结论”.
一、中线倍长：
将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点，中点是一条线段的对称中心。当题目中出现中线条件，而原题又无从证明时，尝试将中线延长一倍，可以形成两个成中心对称的三角形，从而达到转化条件的目的，使转化后的条件与结论之间形成比较明显的联系.
例1、如图1.1，在
中，，点、在线段上，且，过点作∥交线段于点，且，求证：平分.
证明方法1：（如图1.2）延长线段到点，使得，联结线段，
，
，
，，
，
.
证明方法2：（如图1.3）延长线段到点，使得，联结线段，
先证，得，
得.
策略分析：此题解法是经典的“中线倍长”，构造全等三角形，从而证明结论.方法1，是从的条件出发，将线段看成的中线，从而加倍线段.方法2，是将线段看成的中线，从而加倍线段.
学生在遇到中点条件时，会遇到像此题一样，中线不明显的情况；或者，虽然将某条线段看成中线并延长一倍，但依然受困于该与线段的哪个端点相联.这里可以把中点看成是中心对称的对称中心，将中点的某一侧的图形，对称到另一侧，从而判断中线倍长后的点与原图的哪一次相连.此题中，有条件，关于点中心对称时，可以将线段中心对称到线段，这样就是将线段延长一倍并联结；关于点中心对称时，可以将线段中心对称到线段，这样就是将线段延长一倍并联结.
例2、如图2.1，已知在中，点是中线上一点，、的延长线分别交、于点、，线段交于点.求证：∥.
证明：（如图2.2）延长线段到点，使得，联结线段、，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴∥，∥，
∴，，∴∴∥.
图2.1 图2.2
策略分析：这是初三第24章比例线段的一个习题，要得出∥，要先得出，而要得出类似的比例式，需要构造出平行线来，而中线倍长就是构造比例线段的一个重要手段. 中线倍长之后，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得出两对平行线，在没有学四边形之前，也可以中线倍长后，构造以中点为对称中心的全等三角形，从而出现内错角相等，得到平行线.
例3、已知如图3.1，在中，点是边的中点，，线段交边于点，线段交边于点.求证：.
证明：（如图3.2）延长线段到点，使得，并联结、.
，，，
，对比题目中待求证的结论，接下来只要证明即可.
，，，
.
策略分析：此题在证明过程中，将中线“”延长了一倍，这个做法虽然非常符合“中线倍长”这句口诀，但是学生在自己尝试解决时，即使已经经历了其它的“中线倍长”的例题，也很难想到延长“”，因为图中更具“中线”属性的是线段，而延长之后，对题目中的线段、、没有发生转化，故延长的做法被排除.此题也给学生一种提示，所谓“中线倍长”中的“中线”，可以是过中点的一条线段.
如果用“以点为中心进行中心对称”的想法去理解，此题中以点为中心进行对称之后，得到线段，刚好与线段构成了新的三角形的两边，正好与“两边之和大于第三边”的定理相符，可以证明题中结论.
二、中点与等腰三角形的三线合一相结合
例4、如图4.1，是一个等腰三角形，，点是边的中点，点
是线段的延长线的一点，且，点是线段上不同于点和点的任意一点，过点作直线，交边的延长线于点，交边于点，且，求证： .
证明：（如图4.2）在线段上截取线段，并联结，
，，，
，，；
（如图4.3）联结，
，，
，，.
策略分析：此题证明过程分两部分，第一部分是由这个条件，即点为线段中点，联想到关于中点进行中心对称的想法，截取了线段，从而得到了；第二部分是从结论的与条件的，联想到等腰三角形三线合一，即只要证明即可.
三、平行线所夹线段的中点
例5、如图5.1，在梯形中，∥，点、分别为线段、的中点，若，，求边的长.
图5.1 图5.2
证明：（如图5.2）联结线段并且延长交线段交于点，
∵∥，∴，，且，∴，∴，且，
∵，∴，∴.
策略分析：当两条平行线之间夹着某条线段的中点已知时，过这个中点的直线被两条平行线所截得的线段，也是被这个中点平分的.也就是，在两条平行线之间夹着的某条线段的中点已知时，可以构造出一对以这个中点为对称中心的三角形，然后用这对中心对称的全等三角形的性质，和其他条件结合，可以得出进一步的结论.
四、中点与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半相结合
例6、如图6.1，在中，点为边的中点，直线绕顶点旋转，若点、在直线的两侧，于点，于点，联结、.求证：.
证明：（如图6.2）延长交线段于点，
，，，
又，，
，.
策略分析：此题有类似于例5中，平行线所夹线段的中点的条件，所添辅助线也类似于例1、例2的中线倍长，也就是将关于中点中心对称，但是在作辅助线时，写成延长交线段于点，因为此题线段与线段是平行的，延长线段交线段于点就能达到倍长线段的效果.当某条线段（线段）夹在两条平行线之间（），且已知这条线段的中点，用延长过中点的线段的方式，得到两个关于中点中心对称的全等三角形，是一种“基本图形”.最后将直角三角形与斜边中点相结合，由斜边上的中线是斜边的一半的定理，得出结论.
例7、如图7.1，已知四边形中，，，求证：.
证明：（如图7.2）延长、交于点，联结.
，且，同例4可证，得，
，，，，
，，得.
策略分析：此题与例5、例6有相似之处，即在两条平行线（与）之间有一条线段，且已知线段的中点，所以延长交与点，得到了关于中点中心对称的两个三角形，从而得到直角三角形斜边上的中线的“基本图形”.
五、综合运用
例8、如图8.1，在凸四边形中，为边的中点，且，分别过两点，作边的垂线，设两条垂线的交点为.求证：.
图8.1 图8.2
证明：（如图8.2）分别作线段、线段的中点、，联结、、、，
∵、是的中位线，∴∥，，∥，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵, ∴，∴，同理，，
又∵，∴，∴，
∴,即，
∵，∴ ，同理,
∴.
策略分析：当题目中有中点条件时，但又对直接证明题目帮助不明显时，我们可以考虑初中平面几何证明中，与中点有关的定理，比如等腰三角形三线合一、中线倍长、斜边上的中线是斜边的一半、中位线定理等，此题有为直角，点是线段的中点，通过作斜边的中点，既可以构造出斜边的中线，又可以构造出另一条斜边的中位线，这两条线段和已知线段构成了一个三角形，与另一个同理构造的三角形全等，从而使命题得证。
综上所述，当几何证明问题中，出现线段上中点的条件时，往往可以和问题的求证的结论或问题中的其他条件相结合，来考虑解题的策略。如果条件中有中点，而结论中涉及中线的两倍，往往可以采取中线倍长策略；当需要求证的结论中的线段之间彼此没有直接联系的时候，也可以尝试中线倍长的策略，从而使相关线段关于中点中心对称之后，原本没有直接联系的线段，构成新的三角形。当中点所在的线段位于某两条平行线之间时，往往以中点为对称中心构造全等的三角形。当图形中有中点还有直角的时候，往往可以考虑构造直角三角形斜边上的中线。还有构造中位线等策略。希望总结这些策略，有助于我们老师的教学和学生的学习。
参考文献：
[1]李萍.初中平面几何中怎样构造辅助图形的研究与实践 湖南师范大学硕士学位论文
[2]罗山.辅助线在初中平面几何解题教学中的应用研究[D]，西南大学，2020
[3]石帧.八年级学生在运用辅助线解几何证明题上的表现 华东师范大学研究生学位论文
[4]波利亚 怎样解题 上海科技教育出版社
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