“玩”转课堂，感受数学原理

——以“有余数的除法” 为例

上海市教育科学研究院实验小学

仲珉

《核心素养导向的课堂教学》中提到：“活动化对应的是静态化和惰性化。要让学科知识和学生思维活起来，首先必须让学生动起来。求知不是静坐、死记、硬背的过程，而是实践、体验感悟的过程。离开了个人的体悟，知识是无法转化为素养的。”^[1] 所以，活动既是一场感知盛宴，也是学习体验中不可或缺的重要环节。本文“有余数的除法”课堂实践为例，就如何让课堂“活”跃起来，激发学生主动去探索、求知，谈一些个人的思考。

一、教材分析

“有余数的除法”是沪教版数学二年级上册第四单元“乘法、除法（二）”中的内容，是“表内除法”的延伸和扩展，属于数与运算板块。通过对具体物体的平均分、等量划分等行为的探究，认识有余数的除法；了解余数的含义，知道除数和余数的大小关系。本课难点在于让学生理解“有余数的除法”中的“余数＜除数”这一特点。

在小学阶段，我们习惯上把“有余数的除法”理解为“有非零余数的除法”，零不作为余数。因为在小学阶段，学生对于零的认知是表示没有。所以，有余数，就表示余数大于零，这样也符合小学生的认知水平。

二、学情分析

无论是中学还是小学，运算能力的培养都是必不可少的。在《中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2022年版)》(以下简称《新课标》)中明确指出：“运算能力一般是指根据法则和运算定律进行正确运算的能力。能够明晰 运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合 理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。运算能力 有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。”^[2]

在本课之前，学生已有表内乘除法的学习积累，“分一分与除法”的活动经验，以及对于乘除法关系有一定的认知。在以往的教学过程中，多次尝试运用算式组激发学生从中抽象出数学规律，培养学生的模型意识，逐步形成教学新常态。让学生学习路径从被动转变为主动，从零散的碎片化学习方式转变为以多元表征促进建模的学习方式。这些都为本节课的学习提供了知识和方法的基础。

三、课堂教学

【片段1】情境创设（生日Party）

师：每年的生日你都是怎样度过的？

生1：吃蛋糕，做游戏

生2：去游乐园玩一天

生3：收到礼物

生4：请好朋友一起......

师：今天，我们有一位小伙伴也要过生日！他就是小胖！他邀请好朋友到家里来一起庆生！我们来看看都有谁来了？

生（齐说）：小丁丁、小巧、小亚

师：为此，妈妈为他们准备了许多好吃的。妈妈准备了什么？

生（齐说）:草莓（PPT）

【设计与思考】

创设贴近学生日常生活的学习情境尤为重要。生日是学生期盼的重要的纪念日之一，这个话题有足够的分量引起他们的兴趣。以谈话的方式导入，能够快速让学生放松下来，主动的进入话题讨论环节。同样也是为后面的学习埋下伏笔，因为生日中会有分享食物的环节，这将会成为一个很好数学问题，由此创设了这个生日Party的情境。

【片段2】暴露困惑的必要性（平均分演示）

师：妈妈将14颗草莓平均分给4人，我们来看看妈妈是怎样分的。（PPT演示）

生：

1. 第一轮：1人1颗，现在每人分到1颗，还剩下10颗（还能再分）

2. 第二轮：1人1颗，现在每人分到2颗，还剩下6颗（还能再分）

3. 第三轮：1人1颗，现在每人分到3颗，还剩下2颗（不能再分了。因为还剩2颗，有4个小朋友，不能够每人分到1颗，所以不够分。）

   师：妈妈始终是怎样分草莓的？结果是什么？

   生1：妈妈始终是1人1颗的分。

   生2：妈妈将14颗草莓，平均分给4人，每人分到3颗草莓，还剩下2颗草莓。【设计与思考】

   作为Party的小主人要给伙伴们分美食。而总数是多少？如何分？每人分几个？有没有剩下？为什么剩下？这些都是情境所要暴露的困惑点，也是本课知识核心所在，这样的一个真实情境正是引发学生思考的最佳契机，也是唤起学生学习兴趣的重要推手。

    

   【片段3】实际操作，初步感知（动手操作）

   小组活动要求:（4人一组，将8个小布丁、15块饼干、10颗糖果、13个马卡龙，平均分给4人）

4. 选一选：每人选择1种零食

5. 分一分：平均分给4人

6. 填一填：练习单“表格”

7. 收一收：收回盒子里

操作之后，汇报交流......

生1：我们分8个布丁，平均分给4人，每人分到2个。

生2：我们分15块饼干，平均分给4人，每人分到3块，还剩下3块。

生3：我们分10颗糖果，平均分给4人，每人分到2颗，还剩下2颗。

生4：我们分13个马卡龙，平均分给4人，每人分到3个，还剩下1个。

【分析与思考】

“分美食”的活动设计，增加了学生的参与度的同时，让学生充分感受和经历“分”的过程和结果。在动画“妈妈分草莓”范式下，以1人1颗的平分方式，建立平均分的意识。动手操作，分4种不同的食物（卡片），真实体验和感悟“平均分”和“剩下”的含义，为形成“有余数的除法”算式组和数学模型提供数据支持。

【片段4】题组生成，抽象建模（有余数除法的探究）

板书：

15 ÷ 4 ＝ 3……3

10 ÷ 4 ＝ 2……2

13 ÷ 4 ＝ 3……1

14 ÷ 4 ＝ 3……2

师：我们今天就来研究什么？

生（齐读）：有余数的除法

师：既然是有余数的除法，最重要的就是余数，算式中哪个数是余数？（指）

生（齐说）：除号前面的数：被除数，除号后面的数：除数，等号后面的数：商，最后一个数：余数（板书）

师：余数表示什么？

生（齐说）：余数表示“剩下的数”（板书）

师：为什么会剩下？

生：因为不够分。

师：为什么不够分？

生1：不知道，我还没想到。

小组讨论......

师：不够分是指什么数量不够？为什么不够？

生1：是食物的数量不够。

生2：食物的数量比人数少，不够每人分1个，所以才被剩下了。

师：所以，不够分在算式中式什么数和什么数在进行比较？

生：余数和除数比较

一一对比，指看

15 ÷ 4 ＝ 3……3（余数：3，除数4）

14 ÷ 4 ＝ 3……2（余数：2，除数4）

10 ÷ 4 ＝ 2……2（余数：2，除数4）

13 ÷ 4 ＝ 3……1（余数：1，除数4）

师：你们发现什么？（小组讨论，汇报）

生（齐说）：余数都比除数小。

【分析与思考】

本课的难点就是理解“被除数÷除数=商……余数，余数＜除数”。通过分享多种食物的感知活动，抽离出相应的算式，构建成题组，结合“余数表示什么？”、“为什么剩下？”、“为什么不够分？”多个问题驱动，由学生自主观察、比对、思考、说理，初步形成模型。在这个环节中，学生要透过现象看本质，从真实情境中，剥离出数学成分，通过罗列出的算式组，发现背后的知识核心。

【片段5】反复推究，小心验证（余数与除数的关系）

师：老师用一个我们学过的符号连接（板书：余数＜除数？）。但是，老师在这后面打了个“？”。

生：我也想问：余数＞除数，可以吗？

反例：小胖作为小主人来分葡萄，他将21颗葡萄，分给4个人，每人分到4颗，剩下5颗。

师：根据小胖分的情况列出除法算式

生：21÷4=4……5

师：这里我们余数是5，除数是4，余数＞除数了，可以吗？为什么？

小组讨论，汇报结论

生1：余数如果大于除数，就说明葡萄的个数比人数多，还够再分一轮，所以余数不可以大于除数。现在剩下的5颗还能再分，因此每人应该分到5颗，还剩下1颗。（板书：21 ÷ 4 = 5……1）

生2：所以，余数不大于除数。

师：他总结的对吗？不大于是什么意思？不大于是小于等于的意思。

生1：余数等于除数不可以，因为正好还能再分一轮。

生2：所以，余数必须小于除数。

【分析与思考】

根据题组，初步建模，但这都只停留在初步猜想。而反例“小胖分葡萄”，提出假设“余数＞除数”是否成立，以及学生提出“余数不大于除数”的观点，更是引导学生去验证自己建立的模型是否成立。结合动手操作的回顾和算式组的证据，反驳质疑：如果“剩下的数＞人数”，还足够再分一轮，所以，“余数＞除数”不成立。而“不大于？”，这里需要老师辅助解释含义，理解“不大于”就是“小于等于”。由此明确“小于”是成立的。但，“等于”需再次被验证。如果剩下的数量=人数，就意味着足够再分一轮，所以，“等于”不成立。那么“余数不大于除数”这个说法是不正确的。在这个探究的过程中，经过反复推敲、验证说理、回顾分析，最终模型成立：被除数÷除数=商……余数（余数＜除数）。

【片段6】大挑战：（独立尝试、小组讨论、汇报）

师：下面难度升级，我们将要迎来一个大挑战！你们是否有信心完成？（生齐声：有！）

师：首先自己尝试填空，然后小组里轻声交流。

用46、5、6、8组成一道正确的除法算式

□÷□＝□……□

师：刚才在你们小组讨论的时候，老师在边上观察，看到了这样的几个答案，现在请大家一起来看一看，这样的算式是否成立？（正确？）为什么？

PPT列举学生讨论情况：

(1)    146÷6=8……5（生：6×8=48，但是48＞46，算式不成立）

(2)    246÷5=8……6（生：余数6＞除数5，算式不成立）

(3)    346÷8=5……6（生验证：8×5+6=46，余数6＜除数8，算式成立）

【分析与思考】

这个大挑战的设计，经过独立思考和小组讨论，对于正确答案，学生都已心知肚明。但，当3种算式出现后，场面马上就热络起来，每个学生都急于表达，解说观点。这要建立在前期的知识点落实以及学生完成了充分的思考。在小组交流时，学生就会出现的各种问题和答案，经过了说理、推翻、思辨的过程，再一次夯实了知识点和几个注意点。所以，当3种算式一出来，学生就敢于表达。这里的练习环节，同样是检验学生学习成果的时刻，情境是辅助，但不能一直依赖情境，我们最终要从情境中剥离出数学本质。

四、评价与反思

（一）“好”的氛围，激发“玩”的兴趣

组织教学是课堂中的必备手段，随着时代的变迁，孩子成长经历的不同，组织教学不再是单一的灌输知识这一种形式了，而是根据学生的年龄特征，以学生主动学为目标的教学辅助。营造轻松的学习氛围，激发学生的学习兴趣，自主探究。

正如《学习的本质》中提到：“个体对学习情境的感知具有决定性。当学习者认为要学习的知识有用时，他就会更加投入。”^[3]生日Party，每个孩子都期待的活动，且最贴近这个年龄段的日常生活，并且具有一定的吸引力。“分享食物”每个生日Party不可缺少的环节，如何款待好每一位到来的伙伴是非常重要的，要绝对公平。所以让学生角色扮演，实际体验平均分的过程，不仅能够让学生快速进入所创设的情境，放松体验，更激发出学生自主参与的欲望。

（二）“妙”的规则，才能“玩”尽兴

动手实践的教学环节，往往是为了让学生通过操作去感受数学原理，建立生 活和数学的联系。所以，学生能够真正的去操作，明白和理解活动意义和要求就 尤为重要。在设计活动环节前，首先要明确活动意义和目的，然后根据目的去找 切近学生生活的真实事件，再调整为适合课堂实践操作的活动。其次，在制定规则和规则说明时，应根据学生的水平和理解能力来做最佳的阐述或演示。小学生的模仿能力虽强，但对于词汇的理解和活动关联的数学意义都需要老师做进一步的引导。

在设计初期试教时，发现学生对于“平均分”并不能完全理解，或者说在原来没有余数的情况下，学生对于除法的理解更多的是乘法的逆运算，做除法想乘法就可以了。以至于，在操作“平均分”的环节时，漏洞百出。所以，只有学生真正了解到活动的操作规则要求和意义，才能更好的发挥实践活动的作用。

（三）“精”的追问，才能“玩”进去

这里说的“玩”进去，是投入的意思。怎样知道学生是否真正进入这堂课，就从他们的参与度来看。自古就有：敏而好学，不耻下问。所以，所有的学问，都是通过不断地追问、解答、验证，最终解开谜底。那么，创设具有挑战性的问题链，暴露知识本质尤为重要。

在本课探究余数的含义以及余数与除数的关系时，设计了一连串的问题“余数表示什么？为什么会剩下？为什么不够分？”，激发了学生的思维高速运转，当学生敢于说出不知道时，证明他需要思考的时间，同样也是他“玩”进去的表现。学生开始寻找数据依据，用实际操作的经验作为有利证据和解说。慢慢的将有用的数学信息串联，这就是自主探究的真实发生。

（三）人人参与，才是真的“玩”

如何激发每个学生的思维？《像冠军一样教学》中提到：“教师要允许学生以正式的程序自发开展讨论，从而给予他们更多的自主权——尤其在以讨论为目标的时候。”^[4]由此可见，互相交流，互相牵引，互相促进，才能真正激发学生思考。小范围的学生间交流，更能使学生放松下来，大胆说出自己的观点。一个学生的质疑会变成其他学生的启迪，更容易引导学生进入更深刻的思考。我们应当给每一个学生创造参与和表现自我能力、价值的机会。

参考文献

[1]余文森著.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2022 年版) [S].北京：北 京师范大学出版社，2022.

[3]安德烈·焦尔当著；杭零译.学习的本质[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[4]道格·莱莫夫.像冠军一样教学[M].北京：中国青年出版社，2016.