在数学教学过程中，清晰且直观的设问以及有效的师生问答一直是课堂的关键。在日常的教学实践中，如何设问依赖于教师本身的教学经验以及班级学生整体的学习能力，有效的、有连贯性、递进性的提问，才能引发学生的思考的积极性、有效落实数学基本知识与技能，进而提升学生的数学思维能力

问题串是指将多个问题根据某种顺序连接在一起，形成一定的递进关系。问题串设计能激发学生的学习热情与兴趣，调动学生的探究意识，培养学生的数学思维，并将其运用到之后的学习中。因此笔者尝试将问题串设计应用于教学中，并结合教学进度选择“直角三角形全等的判定”作为研究对象。

一、递进式问题串，培养思维的有序性

温故知新是数学课常用的引入方式，本节课通过一个小开放题，将知识梳理习题化，通过逐步深入的问题引导，帮助学生唤起对已有知识的回忆，进而引出对新课内容的探究，有助于思维进阶。

课题导入——温故知新

     如图，若已知∠1=∠2，请添加一个条件，使△ABC≌△ABD.

问题1：本题已知哪些条件？

设计意图：学生通过阅读题目，容易找出本题的显性条件是∠1=∠2，隐性条件是AB=AB。这个问题的目的是引导学生从基本知识的角度进行思考，是一个基本知识层面的问题

问题2：已经学过的全等三角形的判定有哪些？

设计意图：引导学生回顾所学定理，构建已知起未知与未知之间的联系。这个问题引导学生从基本定理的角度构建基本图形，是一个基本技能层面的问题

问题3：如何有序的完整的回答本题呢？

设计意图：学生拿到问题，根据题目条件，联系所学定理,可能会把BC=BD,AC=AD,∠3=∠4，∠D=∠C,一一作出尝试，然后根据全等三角形的判定定理，进行证明，能够证明出的可以添加，不能证明出的，就自动否定，多数学生通过尝试可以把不同的情况都找出来，但学生的思维停留在原地，会的自然会，不会的下次遇到还是要碰运气。

如何有序回答？这是在回答完整的基础上需要进一步思考的，通过怎样的语言，能较好的表达出来呢，也是对语言能力的锻炼。

①已知“一边一角”，从“角”考虑“ASA”“AAS”，添加另“一对角相等”；

②从“边”考虑，选择“夹等角”的两边相等，添加夹等角的另一组邻边相等。

在师生问答中形成结构图：

这样的处理方式，从知识上有序地复习了三角形全等的四个判定定理；从数学方法上提炼了全等三角形判定一般的思考方法；从思维上训练了有序性也锻炼了学生的语言概括能力。这是一个能力层面的问题。

问题4：如果现在将∠C变成了90°，那么还可以添加什么条件？

设计意图：问题从一般到特殊，∠C变成了90°，原本可以添加的条件，现在还成立吗？原本不成立的现在是否成立？

一般情况成立，特殊情况是必然成立的，这样是演绎推理的基础。

一般情况不成立，在特殊的条件下，也可能成立。

本节课通过这个小的开放题导入，通过四个递进式的问题链，引导学生完成了对旧知的复习，对知识结构的重建，也引发了新的思考，

二、收敛式问题串，挖掘思维的深刻性

能够将一道证明题的思路类比推广到新的证明题从而达到一木见林的效果离不开课堂及时的小结，通过溯源和梳理性的问题串，将知识功能化，形成认知思路，从而将知识经验程序化。

新知探究——深入归纳

探究证明直角三角形中边边角的全等

方法一：                                    方法二：   

通过“为什么拼”、“怎么拼”、“如何证”引导学生寻找证明方法

问题1：要使三角形全等，至少需要几个元素？如今元素数量是否足够？类比“边边边”的证明，能否找到合适的解决方法？

设计意图：学生较容易得出答案，全等至少需要3个元素，如今元素数量是足够的，但由于是“边边角”，推导不出所需结论，因此需要重组结构，而已学习的“边边边”证明，提供了思路，即通过拼搭来重组结构使得证明得以完成。这些问题阐述了“为什么拼”，引导了学生思考的方向。

问题2：拼的时候要注意什么？怎么拼？

设计意图：学生通过问题的引导，明确了拼搭时，应将相等的边拼在一起，得到新的整体图形。这个问题明确了“怎么拼”，引导学生从原先无序的尝试，到有指向性的探究，有逻辑的去尝试分析问题，解决问题。

问题3：如何证明？是否有不同的方法？

设计意图：学生通过指向性的尝试，找到了合理的拼搭方法，并阐述了证明过程。这个问题解决了“如何证”，完成了证明，一题多解，拓展了学生的思维。

在学生完成以上两种证明方法后，教师提出

问题4：你是如何想到这样的证明方法的？

设计意图：学生在教师的引导下，通过小组多种尝试，成功地找到了证明方法，这个问题引导了学生回顾刚才寻找证明的过程，追根溯源，从原先漫无目的的寻找中找到一些合理的方法。

问题5：这两种方法有哪些相同与不同之处？

设计意图：学生在思考问题1时，思路相对比较发散，难以归纳从特殊找到一般的证明方法，这个问题从小的切入口着手，学生相对较容易思考，两种证法中相同点在于是将相等的边拼合在一起，不同点在于一种是拼合相等的直角边，由两个直角可以得到“B、C、B’共线”这一新的可用结论；另一种是拼合相等的斜边，可由角平分线的逆定理，得到“∠CBA=∠C’B’A’”这一新的可用结论。这个问题承上启下，也为后续进一步更深入的思考埋下了伏笔。

问题6：这两种证明方法的本质是什么？

设计意图：通过前两问的铺垫，学生继续深入思考，找到证明中更一般的方法，本题的重点是将相等的边拼合在一起，得到新的整体图形，从而完成证明，更本源的是要重组原本已知元素的结构，而重组的原因是因为发现原来的已知元素拥有的数量充足，但推导不出所需的结论，因此需要重组结构。

经过深入的思考，将特殊问题一般化后，这个问题深化提炼了在遇到全等证明的已知元素数量充足，而组合结构不当时，就需要进行结构重组，将不恰当的元素组合转化成可直接应用的结论。

本环节通过溯源和梳理性的问题串，引导学生回顾证明思路，类比归纳得出同类题型的证明方法，将特殊问题一般化。

三、发散式问题串，完善思维的整体性

研究一个问题不仅仅是得到答案即可，而是重视探究的路径以及路径的多样性。本节课在完成全等证明后，通过发散式问题的引导，巩固已有方法，开拓思维，探寻更多可能性，完善数学思维的整体性。

拓展提升——发散探究

证明直角三角形中“边边角全等”的再探究

问题1：回顾之前的两种证明方法分别是什么？

设计意图：引导学生再次巩固已得到的证法，此题需要重组结构，即进行拼搭，这个问题引出后续对于拼法所需注意事项的思考，为发散推理做好铺垫。

问题2：在拼法中需要注意什么？如何拼？

设计意图：基于学生在之前的探究过程中得出了其他拼法，希望通过这一问题，交流点拨，从而尽可能完整的发散出所有拼法并找到其中合理的证法，在发散的过程需要注重其中的逻辑性，因此在学生进行发散推理前，需要明确拼搭所需注意的事项，即需要将相等的边拼合在一起，从而形成一个整体图形。

问题3：如何有序的寻找证明方法？

设计意图：学生在将相等边贴合的前提下进行拼搭可以得到多种的拼法，但要得到完整全面的拼法需要有序的寻找。这个问题能够在学生发散思维的同时，也关注发散背后的逻辑性，将知识经验系统化。

教师通过问题串，引导学生分类讨论，排除了无效的拼法后，可以得出上图的6种有效的拼合方式，即将相等的边拼合在一起。此外，还可以根据两个三角形位于贴合处的同侧或者异侧来分类，这样的思考方式完善了思维的整体性，能够不遗漏地解决问题。

问题串设计与思考

基于问题串设计，本节课的三个主要教学环节如下。

通过问题串设计，有效地增强了师生的互动，避免了部分问题教师自问自答的尴尬场面，提高了课堂效率，让学生从被动学转变为主动学，成为了学习的主体。本节课不但完成了教学目标，而且在最后的环节，学生除了不遗不漏的将每一种拼的情况都展示了出来，更令人欣喜的是学生在列举出的例子中，还成功地证明出了图中右下角的“山峰图”同样也是全等的，这个证明超出了原先教学设计的预期，也体现了在科学合理的问题串的设计下，能够激发学生的学习自主性、积极性。

问题串设计教学能够帮助学生理解几何概念以及提高学生的几何推理能力，能够给予学生一种新的学习方式，并且可以迁移到学习别的新知识中。通过问题串的设计能够引导学生自主的进行学习，帮助学生树立学习数学的信心与兴趣。通过发现问题、提出问题、分析问题乃至解决问题，引发了学生全面地思考，充分发挥了学生学习的主体性。

实际教学中能够设计出科学合理的问题串是比较有难度的，要注意学生的分层。在设计问题串的过程中，要考虑到学生对于知识的认知掌握情况，以教学目标、教学重难点为导向，充分发挥学生的主观能动性，形成一个既有联系性又有发散性的有机的整体，不断地培养学生的数学能力与素养。

参考文献

[1]杨慧.高中数学教学的“问题串”设计研究[D].上海师范大学,2012,5.

[2]斯琴高娃.“问题串”教学在初中数学教学中的运用研究[D].内蒙古师范大学,2014,5.

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0828“问题串”教学在初中数学教学中的应用——以“直角三角形全等的判定”为例(1).docx (92.923 KB)